🌐 Bloch Sphere & Bra-Ket Notation
DS713 Quantum Computing for Data Science — บทที่ 1: ภาษาและภาพของ qubit
1. Qubit คืออะไร
bit แบบ classical เก็บค่าได้ทีละอย่าง: 0 หรือ 1 เท่านั้น
แต่ qubit อยู่ใน "superposition" คือเป็นส่วนผสมของทั้งสองสถานะพร้อมกัน เขียนเป็นสมการได้ว่า
|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩
โดย α และ β เป็นจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า amplitude — เมื่อทำการวัด (measure) จะได้ผลลัพธ์
0 ด้วยความน่าจะเป็น |α|² และได้ 1 ด้วยความน่าจะเป็น |β|²
ดังนั้นจึงต้องมีเงื่อนไข normalization เสมอ:
|α|² + |β|² = 1
2. สัญกรณ์ Bra-Ket (Dirac Notation)
Ket |ψ⟩ — เวกเตอร์แนวตั้ง
สัญลักษณ์ |ψ⟩ อ่านว่า "เค็ท-ไซ" แทนสถานะควอนตัมในรูป column vector:
|0⟩ = [ 1 ] |1⟩ = [ 0 ]
[ 0 ] [ 1 ]
สถานะทั่วไปจึงเป็นผลรวมเชิงเส้น:
|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ = [ α ]
[ β ]
Bra ⟨ψ| — คู่สลับเปลี่ยนสังยุค
สัญลักษณ์ ⟨ψ| คือ conjugate transpose ของ ket (row vector):
⟨ψ| = [ α* β* ]
ประกบ bra กับ ket ได้ inner product ⟨φ|ψ⟩ ใช้วัด "ความซ้อนทับ" ของสองสถานะ:
⟨0|1⟩ = 0 ← ตั้งฉากกัน (orthogonal)
⟨ψ|ψ⟩ = |α|²+|β|² = 1 ← normalized
💡 จำง่าย ๆ: bra⟨ | + ket| ⟩ = "bracket" ⟨ | ⟩ — คิดค้นโดย Paul Dirac
สัญกรณ์นี้ทำให้เขียนพีชคณิตของควอนตัมได้กระชับกว่า matrix เต็มรูปแบบมาก
3. จากสมการสู่ทรงกลม Bloch
เนื่องจาก α, β เป็นจำนวนเชิงซ้อน 2 ตัว (4 ตัวเลขจริง) แต่มีเงื่อนไข normalization
และ global phase ไม่มีผลทางฟิสิกส์ จึงเหลือตัวแปรอิสระเพียง 2 ตัว คือมุม
θ (theta) และ φ (phi) — เขียนสถานะใดก็ได้ในรูป:
|ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + eiφ sin(θ/2)|1⟩
สองมุมนี้คือพิกัดบนผิวทรงกลมรัศมี 1 พอดี! เรียกว่า Bloch Sphere:
- θ = มุมเอียงจากขั้วเหนือ (แกน z) — ควบคุมความน่าจะเป็น: P(0) = cos²(θ/2)
- φ = มุมกวาดรอบแกน z จากแกน x — ควบคุม relative phase ระหว่าง |0⟩ กับ |1⟩
- ขั้วเหนือ = |0⟩, ขั้วใต้ = |1⟩, เส้นศูนย์สูตร = สถานะ superposition 50:50 ทั้งหมด
🤔 ทำไมต้อง θ/2? — บนทรงกลม |0⟩ กับ |1⟩ อยู่ตรงข้ามกัน (ห่าง 180°)
ทั้งที่ในปริภูมิเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน (90°) — มุมบน Bloch sphere จึง "กว้างเป็นสองเท่า"
ของมุมในปริภูมิสถานะ นี่คือที่มาของ θ/2 ในสมการ และเป็นเหตุผลว่าทำไม gate ที่หมุน 180° บนทรงกลมจึงพาสถานะไปยังสถานะตั้งฉาก
4. ทดลองเอง — Bloch Sphere Playground
🖱️ ลากบนทรงกลมเพื่อหมุนมุมมอง
สถานะพื้นฐาน (กดเลือก)
หรือปรับมุมเอง
θ
0.00π
φ
0.00π
สถานะ qubit
⚠️ การ "วัด" ทำให้ superposition ยุบตัว (collapse) — ผลที่ได้คือ 0 หรือ 1 เท่านั้น
ตามความน่าจะเป็น P(0), P(1) ปุ่มด้านบนจำลองการเตรียมสถานะเดิมแล้ววัดซ้ำ 100 รอบ
สังเกตว่าผลนับจะ "ประมาณ" ค่าความน่าจะเป็นแต่ไม่ตรงเป๊ะ — นี่คือธรรมชาติเชิงสถิติของควอนตัม
5. หกสถานะสำคัญที่ต้องรู้จัก
|0⟩ = [ 1 ] θ=0
[ 0 ]
สถานะเริ่มต้นของ qubit ในเครื่องจริง (เช่น IBM Quantum) — วัดได้ 0 แน่นอน
P(0)=100%P(1)=0%
|1⟩ = [ 0 ] θ=π
[ 1 ]
สถานะตรงข้ามกับ |0⟩ — ตั้งฉากกันในปริภูมิสถานะ (⟨0|1⟩ = 0) วัดได้ 1 แน่นอน
P(0)=0%P(1)=100%
|+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2
θ=π/2, φ=0
superposition 50:50 ที่โด่งดังที่สุด — สร้างได้จาก H|0⟩ ใช้เปิดฉากแทบทุก algorithm
P(0)=50%P(1)=50%
|−⟩ = (|0⟩−|1⟩)/√2
θ=π/2, φ=π
ความน่าจะเป็นเท่ากับ |+⟩ ทุกประการ แต่ relative phase ต่างกัน (เครื่องหมายลบ) —
ทรงกลมช่วยให้ "เห็น" ความต่างนี้ที่การวัดตรง ๆ มองไม่เห็น
P(0)=50%P(1)=50%
|+i⟩ = (|0⟩+i|1⟩)/√2
θ=π/2, φ=π/2
phase เป็นจำนวนจินตภาพ i = e^(iπ/2) — สร้างได้จาก S|+⟩
P(0)=50%P(1)=50%
|−i⟩ = (|0⟩−i|1⟩)/√2
θ=π/2, φ=3π/2
คู่ตรงข้ามของ |+i⟩ — ครบ 3 คู่แกน (±x, ±y, ±z) ที่ใช้เป็น basis การวัดได้ทั้งหมด
P(0)=50%P(1)=50%
🔑 สังเกต: สถานะบนเส้นศูนย์สูตรทั้งสี่ (|+⟩, |−⟩, |+i⟩, |−i⟩)
วัดใน basis ปกติได้ 50:50 เหมือนกันหมด — สิ่งที่ต่างกันคือ phase ซึ่งเป็นหัวใจของ
quantum interference และคือเหตุผลที่ quantum algorithm เร็วกว่า classical ได้
ในบทถัดไปเราจะดูว่า quantum gate หมุนสถานะเหล่านี้ไปมาบนทรงกลมอย่างไร